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:Yana:ZZZ: Economy (2010-12-11)

資産運用と確率分布 (2010-06-11)

目的 (2007-09-11)

資産運用について、運用倍率(もしくは運用収益率)と確率分布の関係を検討します。

正規分布と「最悪」 (2007-09-11)

運用倍率(もしくは運用収益率)を正規分布と想定することは、有用なのでしょうか?

まず、「ホンネの投資教室」の「”マネー運用感覚”速習入門講座 (4)最悪のケースについて「金額で」見当をつけよう」から引用します。

 大まかには、期待リターンを中心として上下この幅の中に68%が、また上下にこの幅の2倍の範囲内であれば95%のケースの収益率が、この幅の中に入ると想定される。つまり、1年後に起こりうる95%の中で最悪のケースの目処は6.5%から21.6%の2倍を引いてマイナス36.7%ということになる。さらに悪いケースもあり得るのだが起こる確率が低くなる。金融の世界では、このマイナス二標準偏差のケースくらいを「最悪」として想定することが多い。他の資産についても同じ要領で「最悪の場合」が計算できる。

また、「資産設計への道」の「ボラティリティを実感する方法」から引用します。

変動率は標準偏差を計算することで数値化することができます。統計学の世界 になりますが、正規分布を前提とすると平均値からプラスマイナス2標準偏差 の中に発生する確率の95.4%が収まります。つまりこの外側になる確率は 5%以下ですから、標準偏差の2倍の変動が最悪の場合に想定しておく状況と いうことになります。

ここで、毎年の運用倍率(もしくは運用収益率)を独立な正規分布(平均:μ、標準偏差:σ)と想定すると、1年の運用で、μ−σ以上μ+σ以下になる確率が約68.3%(≒(0.8413−0.5)×2)に、μ−2σ以上μ+2σ以下になる確率が約95.4%(≒(0.9772−0.5)×2)になります。
そして、μ−2σを「最悪」とすると、1年の運用で、「最悪」以上になる確率が約97.7%(≒0.9772)になりますし、これが2回続く、つまり、2年の運用で、「最悪」以上が続く確率が約95.5%(≒0.9772)になりますし、これが32回続く、つまり、32年の運用で、「最悪」以上が続く確率が約47.8%(≒0.977232)になりますが、これは、32年の運用で、「最悪」以下に1回はなる確率が約52.2%(≒1−0.977232)ということです。

このように、未来の運用倍率(もしくは運用収益率)を正規分布と想定すると、μ−2σ以上になる確率などを計算できますが、過去の運用倍率(もしくは運用収益率)は正規分布なのでしょうか?

過去の分布について、「金融工学の悪魔 騙されないためのデリバティブとポートフォリオの理論・入門」(著者:吉本佳生、1999年10月20日、第1版第4刷)の86ページから引用します。

 オプション価格の計算をするとき、よく利用される確率分布は、正規分布と二項分布の二つです。円相場や株価などの原資産価格が、無限に細かな時間を単位として、無限に細かな幅で連続的に変化すると想定するモデルでは、その変化率は正規分布にしたがうと考えることが多く、一方、たとえば一分ごとに一銭刻みで変化するというように、離散的な変化を想定するモデルでは、その変化率は二項分布にしたがうと考えることが多いのです。前者の正規分布を使うモデルの代表がブラック=ショールズ・モデルです(正確に言うと、対数正規分布が使われています)。

 おおまかにみると、現実の円相場の変化率は正規分布に類似した分布になっています。しかし、きちんと比較すると、一日単位で測った円相場の過去の変化率は、正規分布にはなっていません。同じ標準偏差をもつ正規分布と比べてみると、たとえば一日に三円以上も変化するなどの、極端に大きな変化が生じる確率は、正規分布よりも現実の分布の方がかなり高いのです。またその一方で、一日の間にほとんど変化しないという現象が起きる確率も、現実の方が高いのです。その代わり、中ぐらいの変化率が生じる確率は、正規分布に比べて低いことになります。つまり、同じ標準偏差をもつ正規分布と比べると、現実の円相場の変化は、ときに大きく変化したり、ときに変化しなくなったりするという感じで、変化が不安定なときと安定しているときの差が少し激しいのです。

ここで、「一日単位で測った円相場の過去の変化率」は正規分布(もしくは対数正規分布)ではなく、「極端に大きな変化が生じる確率」が正規分布(もしくは対数正規分布)よりも「かなり高い」ということですが、期間や資産を変更した場合の「過去の変化率」を確認したいところです。

正規分布の性質 (2009-08-11)

正規分布について、「すぐに役立つ統計分布」(著者:蓑谷千凰彦、1998年7月24日、第1刷)を参考にして、性質を確認します。

パラメータ
μ、σ>0
範囲
−∞<x<∞
確率密度関数
((2π)1/2σ)−1−(2σ−1(x−μ)
最頻値(モード)
μ
中央値(中位数)
μ
平均(期待値)
μ
分散
σ

正規分布(平均:μ、分散:σ)に従う確率変数Xを、次のように表すことにします。

X〜N(μ,σ)のとき、定数aと定数bを使用した確率変数Y=a+bXは、Y〜N(a+bμ,bσ)になりますし、確率変数Z=(X−μ)/σは、Z〜N(0,1)になります。

確率変数Xと確率変数Xが独立で、X〜N(μ,σ)で、X〜N(μ,σ)のとき、定数cと定数cを使用した確率変数Y=c+cは、Y〜N(cμ+cμ,cσ+cσ)になります。

確率変数Zと確率変数Zが独立で、Z〜N(0,1)で、Z〜N(0,1)のとき、確率変数Y=Zの確率密度関数は、次のようになります(K(u)は「第啓錣僚だ汽戰奪札覺愎堯廖法

ここで、運用倍率(もしくは運用収益率)を正規分布と想定してみます。
例えば、運用倍率を正規分布と想定して、μ=2とすると、運用倍率が1倍から2倍になる確率と2倍から3倍になる確率が同じになります。

まず、正規分布の範囲は−∞<x<∞ですが、この範囲の確率密度関数は0より大きいので、運用倍率を正規分布と想定すると、運用倍率が0倍未満になる確率が0より大きいことになり、(元手額を失うことが限度で)運用倍率が0倍以上になる運用には使用できません。
また、運用収益率を正規分布と想定すると、運用収益率が−100%未満になる確率が0より大きいことになり、(元手額を失うことが限度で)運用収益率が−100%以上になる運用には使用できません。

次に、複利で運用した場合について、独立な確率変数の積を使用してみると、確率変数Zと確率変数Zが独立で、Z〜N(0,1)で、Z〜N(0,1)のとき、確率変数Y=Zの確率密度関数は、正規分布の確率密度関数になりませんので、確率変数Yは正規分布に従いません。
また、確率変数Xと確率変数Xが独立で、X〜N(μ,σ)で、X〜N(μ,σ)のとき、確率変数Y=Xは正規分布に従うと仮定すると、次のような確率変数は正規分布に従うことになりますが、確率変数Yは正規分布に従いませんので、確率変数Yは正規分布に従わないことになります。

つまり、ある年と次の年の運用倍率を独立な正規分布と想定すると、この2年の複利の運用倍率は正規分布になりません。

なお、単利で運用した場合について、独立な確率変数の和を使用してみると、確率変数Xと確率変数Xが独立で、X〜N(μ,σ)で、X〜N(μ,σ)のとき、確率変数Y=X+X−1は、Y〜N(μ+μ−1,σ+σ)になります。
つまり、ある年と次の年の運用倍率を独立な正規分布と想定すると、この2年の単利の運用倍率は正規分布になります。

対数正規分布の性質 (2009-12-11)

対数正規分布について、「すぐに役立つ統計分布」(著者:蓑谷千凰彦、1998年7月24日、第1刷)を参考にして、性質を確認します。

パラメータ
μ、σ>0
範囲
0<x<∞
確率密度関数
((2π)1/2σx)−1−(logx−μ)/(2σ
最頻値(モード)
μ−σ
中央値(中位数)
μ
平均(期待値)
μ+2−1σ
分散
2μ+σ(eσ−1)

確率変数Yが正規分布(平均:μ、分散:σ)に従うとき、確率変数X=eは対数正規分布に従うといい、次のように表すことにします。

確率変数Xと確率変数Xが独立で、log〜N(μ,σ)で、log〜N(μ,σ)のとき、確率変数Y=Xは、logY〜N(μ+μ,σ+σ)になります。

ここで、運用倍率(もしくは運用収益率)を対数正規分布と想定してみます。
例えば、運用倍率を対数正規分布と想定して、μ=log2とすると、運用倍率が1倍から2倍になる確率と2倍から4倍になる確率が同じになります。

まず、対数正規分布の範囲は0<x<∞ですが、運用倍率を対数正規分布と想定すると、運用倍率が0倍以下には対応しませんので、(元手額を失うことが限度で)運用倍率が0倍以上になる運用には使用できません。
また、運用収益率を対数正規分布と想定すると、運用収益率が0%以下には対応しませんので、(元手額を失うことが限度で)運用収益率が−100%以上になる運用には使用できません。

次に、複利で運用した場合について、独立な確率変数の積を使用してみると、確率変数Xと確率変数Xが独立で、Xは対数正規分布に従い、Xも対数正規分布に従うとき、確率変数Y=Xは対数正規分布に従います。
つまり、ある年と次の年の運用倍率を独立な対数正規分布と想定すると、この2年の複利の運用倍率は対数正規分布になります。

フラクタルとベキ分布 (2009-08-11)

まず、ベキ乗則とベキ分布について、「エコノフィジックス 市場に潜む物理法則」(著者:高安秀樹・高安美佐子、2001年12月10日、1版1刷)の185ページから引用します。

ベキ乗則 power law 関数型がベキ乗(x)に従うような法則。ベキ乗関数はスケールを変える変換(x→λx)をしても関数型が変化しないので,拡大や縮小をしても同じように見えるフラクタル性を定量的に表現することになる。

ベキ分布 power law distribution 確率密度関数がベキ乗の関数に従うような分布。理想的には,平均値が0で標準偏差が無限大,というような一見奇妙な性質があるが,分布としては非常に強い安定性がある。数学的には安定分布のすそのの部分がベキ分布になっているので,大きなすそのをもつ分布に従う変数を足し合わせるだけで拡張された中心極限定理によって,ベキ分布が実現しうる。

また、価格の変位について、「エコノフィジックス 市場に潜む物理法則」の46ページから引用します。

 価格の変位の分布に大きなすそのがあることは普遍的であっても,その関数形まで普遍的かどうかは,まだはっきりとはしていない。為替のデータに関しては,ベキ乗で近似すると指数は−1.7程度になるのに対し,株価に関しては,ニューヨーク市場の膨大なデータを解析した結果,指数がほぼ−3のベキ分布によって,よく近似されることが報告されている6)

ここで、価格の変位ではなく、運用倍率(もしくは運用収益率)を検討したいところですが、示量変数について、「エコノフィジックス 市場に潜む物理法則」の34ページから引用します。

 スケールを表す量xとしては,足し算が成立するような量で,専門的には示量変数とよばれるものに限定される。たとえば,水100gと水200gを足し合わせれば300gになるので,重量は示量変数であるが,30℃の水と20℃の水を同量足し合わせても,50℃のお湯にはならないことからわかるように,温度に関しては足し算が成立しないので,温度は示量変数ではない。本書に登場する量としては,たとえば,単位時間あたりの売買取引の密度や企業の成長率などは,示量変数ではなく,示強変数とよばれる量である。一般にフラクタル解析をする場合には,扱う変数が示量変数であるかどうかを最初に考慮しておかなければならない。

運用倍率(もしくは運用収益率)については、重量などの示量変数ではなく、企業の成長率などの示強変数のようですので、フラクタルでベキ分布とは想定しませんが、正規分布(もしくは対数正規分布)で確認しているように、ベキ分布(もしくは対数ベキ分布)について、独立な確率変数の積などを確認したいところです。

とりあえずの対応 (2009-10-11)

まず、運用倍率(もしくは運用収益率)について、未来の分布はわかりません。
例えば、正規分布(平均:μ、標準偏差:σ)と想定して、μ−2σを「最悪」とするのは、未来の「最悪」を過小評価するかもしれません。
また、コーシー分布では、平均や分散が定義されませんが、このような分布を想定すると、資産配分に平均分散アプローチは使用できません。

次に、数年の運用倍率(もしくは運用収益率)について、分布などの仮説を統計で確認してから、運用に使用するには、人生は短いかもしれません。
例えば、1971年にニクソン・ショックでドルと金の交換が停止されてから、38年になりますが、2年の運用ということでは、標本は19個になります。

範囲限定 (2010-06-11)

オプションのカラーということで、保有している原資産について、プットを買ってコールを売ると、原資産の下限と上限を設定できるようです。
同じ価格のプットを買ってコールを売ると、ゼロ・コスト・カラーになります。
運用倍率(もしくは運用収益率)について、未来の分布はわかりませんが、原資産の下限と上限を設定した場合の平均や標準偏差を確認したいところです。

資産運用と資産配分 (2010-12-11)

目的 (2010-02-11)

資産運用について、運用倍率(もしくは運用収益率)と資産配分の関係を検討します。

総量比例と等額と等量 (2010-10-11)

資産交換機関に資産を預けて交換している運用者の資産配分を考えてみます。
預けられる資産は資産Aと資産B、交換の状況を「1個の資産Aと2個の資産Bを交換」、全ての運用者が預けた資産の合計を総資産、総資産の状況を「資産Aの個数は資産Bの個数の2倍」として、資産Aなら30個に相当する資産を、資産Aと資産Bに配分します。

総量比例と等額と等量

資産A
資産B
交換の状況が変更された場合
総資産の状況が変更された場合
総量比例
24個
12個
配分を変更しない
配分を変更する
等額
15個
30個
配分を変更する
配分を変更しない
等量
20個
20個
配分を変更しない
配分を変更しない

ここで、運用倍率(もしくは運用収益率)について、総資産を基準とすると、全ての運用者が預けた資産の合計が総資産ですので、基準より上の運用者がいる場合には、基準より下の運用者がいることになります。
総量比例の運用者は、交換の状況が変更された場合でも、資産の比率が総資産と同じですので、基準と同じ運用倍率(もしくは運用収益率)になりますし、総資産の状況が変更された場合でも、資産の比率を総資産と同様に変更できれば、基準と同じ運用倍率(もしくは運用収益率)になります。
等額や等量の運用者は、資産の比率が総資産と異なりますので、基準と異なる運用倍率(もしくは運用収益率)になります。

なお、総量比例の運用者が、基準と同じ運用倍率(もしくは運用収益率)になるとしても、未来の確率分布はわかりませんし、資産が増えることもあれば、減ることもあるでしょう。

また、例えば、株式運用ということでは、総量比例が時価総額ウェイト、等額が等金額ウェイト、等量が等株数ウェイトになるようです。

時価総額ウェイトと等金額ウェイトと等株数ウェイト

交換の状況が変更された場合
総資産の状況が変更された場合
時価総額ウェイト
配分を変更しない
配分を変更する
等金額ウェイト
配分を変更する
配分を変更しない
等株数ウェイト
配分を変更しない
配分を変更しない

効率的フロンティア (2010-12-11)

運用収益率について、未来の確率分布はわかりませんし、平均や標準偏差や相関係数が定義されないかもしれませんが、定義されると想定して、資産iの平均をμ、資産iの標準偏差をσ、資産iと資産jの相関係数をρijとして、資産配分を考えてみます。
資産の比率について、資産iにwを配分して、Σw=1とすると、合計した運用収益率の平均と標準偏差は、次のようになります。

合計した運用収益率の平均と標準偏差

合計した運用収益率の平均
合計した運用収益率の標準偏差
資産Aと資産Bに配分した場合
μ+wμ
(wσ+2wσσρAB+wσ1/2
資産iに配分した場合
Σwμ
(ΣΣwσσρij1/2

ここで、相関係数の範囲は−1≦ρij≦1ですが、相関係数が1未満の場合には、合計した運用収益率について、同じ平均であれば、標準偏差が小さくなるように配分したいところですが、次のようなソフトウェアを使用します。

例えば、次のような資産について、合計した運用収益率の平均と標準偏差を計算できました。

平均と標準偏差と相関係数

平均
標準偏差
相関係数
資産A
資産B
資産C
資産A
5%
10%

−0.5

資産B
10%
20%
−0.5

0.5
資産C
15%
30%

0.5

平均に変数「m」を、標準偏差に変数「s」を、相関係数に変数「p」を使用しています。

# (C) 2010 Yana
library(tseries)
m <- c(.05, .1, .15)
s <- c(.1, .2, .3)
p <- matrix(c(1, -.5, 0, -.5, 1, .5, 0, .5, 1), length(m))
plot(s, m, xlim = c(0, max(s)), ylim = c(0, max(m)))
y <- seq(min(m), max(m), length.out = 16)
x <- c()
for (i in y) {
        j <- portfolio.optim(t(m), i, covmat = s %*% t(s) * p)
        x <- c(x, sqrt((j$pw * s) %*% t((j$pw * s) %*% p)))
}
lines(x, y)

資産運用と実績 (2010-12-11)

目的 (2007-07-11)

資産運用について、評価額などのデータから、実績としての運用倍率を計算します。

計算例 (2007-09-11)

まず、いわゆる「表計算ソフト」として、次のようなソフトウェアを使用します。

次に、元手額と評価額などのデータを入力します。

データの入力

A
B
C
1
評価日
元手額
評価額
2
2004-12-31
10
20
3
2005-03-31
11
22
4
2005-06-30
12
24

この例では、運用する資産を追加して、元手額を増やしていますが、このような元手増減額(キャッシュ・フロー)の影響を含まない時間加重収益率を参考にして、数式を入力します。

注意:元手増減額(キャッシュ・フロー)の影響を含む金額加重収益率には、対応していません。

数式の入力

A
B
C
D
E
F
G
1
評価日
元手額
評価額
期初型運用倍率
期末型運用倍率
累積運用倍率
年相乗平均運用倍率
2
2004-12-31
10
20


1

3
2005-03-31
11
22
=C3/(C2-B2+B3)
=(C3+B2-B3)/C2
=F2*MIN(D3;E3)
=(F3/F$2)^(365.2425/(A3-A$2))
4
2005-06-30
12
24
=C4/(C3-B3+B4)
=(C4+B3-B4)/C3
=F3*MIN(D4;E4)
=(F4/F$2)^(365.2425/(A4-A$2))

ここで、D3の期初型運用倍率はA2の評価日の直後に、E3の期末型運用倍率はA3の評価日の直前に、運用する資産を追加した場合の運用倍率になります。
そして、F3の累積運用倍率では、D3の期初型運用倍率とE3の期末型運用倍率の小さい方の値を使用しています。

注意:期初型運用倍率と期末型運用倍率について、分子や分母が0以下の場合には、対応していません。

数式の出力

A
B
C
D
E
F
G
1
評価日
元手額
評価額
期初型運用倍率
期末型運用倍率
累積運用倍率
年相乗平均運用倍率
2
2004-12-31
10
20


1

3
2005-03-31
11
22
1.048
1.050
1.048
1.208
4
2005-06-30
12
24
1.043
1.045
1.093
1.197

なお、運用する資産を削減して、元手額を減らす場合にも、同じ数式を使用します。

数式の出力

A
B
C
D
E
F
G
1
評価日
元手額
評価額
期初型運用倍率
期末型運用倍率
累積運用倍率
年相乗平均運用倍率
2
2004-12-31
10
20


1

3
2005-03-31
9
18
0.947
0.950
0.947
0.803
4
2005-06-30
8
16
0.941
0.944
0.892
0.793

また、元手額ではなく、元手増減額(キャッシュ・フロー)を入力する場合には、別の数式を使用します。

数式の入力

A
B
C
D
E
F
G
1
評価日
元手増減額
評価額
期初型運用倍率
期末型運用倍率
累積運用倍率
年相乗平均運用倍率
2
2004-12-31

20


1

3
2005-03-31
1
22
=C3/(C2+B3)
=(C3-B3)/C2
=F2*MIN(D3;E3)
=(F3/F$2)^(365.2425/(A3-A$2))
4
2005-06-30
1
24
=C4/(C3+B4)
=(C4-B4)/C3
=F3*MIN(D4;E4)
=(F4/F$2)^(365.2425/(A4-A$2))
数式の出力

A
B
C
D
E
F
G
1
評価日
元手増減額
評価額
期初型運用倍率
期末型運用倍率
累積運用倍率
年相乗平均運用倍率
2
2004-12-31

20


1

3
2005-03-31
1
22
1.048
1.050
1.048
1.208
4
2005-06-30
1
24
1.043
1.045
1.093
1.197
数式の出力

A
B
C
D
E
F
G
1
評価日
元手増減額
評価額
期初型運用倍率
期末型運用倍率
累積運用倍率
年相乗平均運用倍率
2
2004-12-31

20


1

3
2005-03-31
-1
18
0.947
0.950
0.947
0.803
4
2005-06-30
-1
16
0.941
0.944
0.892
0.793

作者(Yana)の実績 (2010-12-11)

数式の出力

A
B
C
D
E
F
G
1
評価日
元手額
評価額
期初型運用倍率
期末型運用倍率
累積運用倍率
年相乗平均運用倍率
2
2004-12-31
?
?


1

3
2005-03-31
?
?
1.017
1.018
1.017
1.073
4
2005-06-30
?
?
1.029
1.029
1.047
1.097
5
2005-09-30
?
?
1.035
1.036
1.084
1.113
6
2005-12-31
?
?
1.019
1.020
1.104
1.104
7
2006-03-31
?
?
1.005
1.005
1.109
1.087
8
2006-06-30
?
?
1.000
1.000
1.109
1.072
9
2006-09-30
?
?
1.030
1.031
1.143
1.079
10
2006-12-31
?
?
1.042
1.042
1.190
1.091
11
2007-03-31
?
?
1.010
1.010
1.202
1.086
12
2007-06-30
?
?
1.046
1.046
1.258
1.096
13
2007-07-31
?
?
0.984
0.984
1.238
1.086
14
2007-08-31
?
?
0.967
0.967
1.197
1.070
15
2007-09-30
?
?
1.034
1.034
1.239
1.081
16
2007-10-31
?
?
1.022
1.023
1.266
1.087
17
2007-11-30
?
?
0.955
0.955
1.210
1.068
18
2007-12-31
?
?
1.011
1.011
1.223
1.070
19
2008-01-31
?
?
0.946
0.945
1.156
1.048
20
2008-02-29
?
?
1.015
1.015
1.174
1.052
21
2008-03-31
?
?
0.960
0.959
1.126
1.037
22
2008-04-30
?
?
1.042
1.042
1.174
1.049
23
2008-05-31
?
?
1.014
1.014
1.190
1.052
24
2008-06-30
?
?
0.986
0.986
1.174
1.047
25
2008-07-31
?
?
0.987
0.987
1.158
1.042
26
2008-08-31
?
?
0.979
0.979
1.134
1.035
27
2008-09-30
?
?
0.927
0.927
1.051
1.013
28
2008-10-31
?
?
0.892
0.892
0.937
0.983
29
2008-11-30
?
?
0.963
0.963
0.903
0.974
30
2008-12-31
?
?
0.992
0.992
0.895
0.973
31
2009-01-31
?
?
0.971
0.971
0.869
0.966
32
2009-02-28
?
?
1.014
1.014
0.881
0.970
33
2009-03-31
?
?
1.041
1.042
0.918
0.980
34
2009-04-30
?
?
1.042
1.042
0.957
0.990
35
2009-05-31
?
?
1.048
1.048
1.002
1.001
36
2009-06-30
?
?
1.012
1.012
1.014
1.003
37
2009-07-31
?
?
1.016
1.016
1.030
1.006
38
2009-08-31
?
?
1.008
1.008
1.038
1.008
39
2009-09-30
?
?
1.003
1.003
1.041
1.009
40
2009-10-31
?
?
1.015
1.015
1.057
1.011
41
2009-11-30
?
?
0.979
0.979
1.034
1.007
42
2009-12-31
?
?
1.031
1.032
1.067
1.013
43
2010-01-31
?
?
0.980
0.980
1.045
1.009
44
2010-02-28
?
?
1.004
1.004
1.050
1.009
45
2010-03-31
?
?
1.050
1.050
1.102
1.019
46
2010-04-30
?
?
1.019
1.019
1.124
1.022
47
2010-05-31
?
?
0.929
0.929
1.044
1.008
48
2010-06-30
?
?
0.989
0.989
1.032
1.006
49
2010-07-31
?
?
1.026
1.026
1.058
1.010
50
2010-08-31
?
?
0.977
0.977
1.034
1.006
51
2010-09-30
?
?
1.041
1.041
1.077
1.013
52
2010-10-31
?
?
0.996
0.996
1.073
1.012

資産運用と目標 (2010-08-11)

目的 (2008-01-11)

資産運用について、目標を整理します。

作者(Yana)の目標 (2009-06-11)

運用とその他の収支を考えてみます。

未来のことはわかりませんが、作者(Yana)の場合には、運用外収入が運用外支出よりも小さくなりそうですので、次のような目標を参考にしながら、運用しています。

ここで、年金ということでは、作者(Yana)が加入している日本国の公的年金(国民年金と厚生年金)を下回らないように運用したいところです。
また、賃金と物価ということでは、作者(Yana)が生活している日本国の賃金と物価を下回らないように運用したいところです。

なお、運用だけの目標ではなく、運用とその他の収支の目標ということでは、運用外収入が運用外支出よりも小さくなっても、資産を削減しないようにしたいところです。

年金の運用の実績 (2010-08-11)

年金の運用の実績について、時間加重収益率を参考にします。

年金積立金管理運用独立行政法人
年金積立金管理運用独立行政法人
国家公務員共済組合連合会
国家公務員共済組合連合会internet
地方公務員共済組合連合会
地方公務員共済組合連合会
日本私立学校振興・共済事業団 共済事業本部
私学共済事業|トップページ
農林漁業団体職員共済組合
農林年金WebSite
国民年金基金連合会
国民年金基金
企業年金連合会
企業年金連合会|トップページ

年金積立金管理運用独立行政法人(市場運用資産全体)と企業年金連合会(全資産)については、時間加重収益率を確認できました。

時間加重収益率

年金積立金管理運用独立行政法人(市場運用資産全体)
企業年金連合会(全資産)
作者(Yana)
平成17年度
14.37%
22.68%
9.04%
平成18年度
4.56%
5.62%
8.38%
平成19年度
-6.10%
-9.88%
-6.33%
平成20年度
-10.04%
-18.37%
-18.51%
平成21年度
9.58%
17.84%
20.10%

なお、年金積立金管理運用独立行政法人と企業年金連合会について、平成21年度の資産構成も確認できました。

平成21年度の資産構成

年金積立金管理運用独立行政法人
企業年金連合会
国内債券
市場運用
50.79%
36.7%
財投債
16.75%
国内株式
12.01%
17.1%
外国債券
8.26%
20.2%
外国株式
10.79%
25.4%
短期資産
1.41%

不動産

0.6%

資産運用と用語 (2009-12-11)

目的 (2007-10-11)

資産運用について、用語を整理します。

運用収益率と運用倍率 (2007-10-11)

まず、運用収益率と運用倍率には、次のような関係があります。

次に、作者(Yana)は、次のような仮説を思いつきました。

例えば、ある年の運用倍率を0.9倍、次の年の運用倍率を1.1倍として、この2年の複利の運用倍率を計算すると、0.99倍(=0.9×1.1)になりますが、運用倍率を運用収益率に変更して、ある年の運用収益率を−10%、次の年の運用収益率を+10%として、この2年の複利の運用収益率を計算すると、±0%(=−0.1+0.1)にしてしまうことが多い、ということです。

また、「これだけは知っておこう! 統計学」(著者:東北大学統計グループ、2002年1月15日、初版第1刷)の181ページから引用します。

 このことを踏まえて,毎月の株式投資収益率が互いに独立とし,かつ同一の正規分布に従うとします。次に,1年間の収益率をRとし,以下の式のように12個の月間収益率(r,r,…,r12)の和と考えます。

 R=r+r+…+r12 (9.4)

ここで、月間収益率の平均(期待値)をμとすると、確率変数の和の期待値の公式から、年間収益率の平均(期待値)は12μになり、月間収益率の分散をσとすると、独立な確率変数の和の分散の公式から、年間収益率の分散は12σになりますが、これは、単利で運用した場合です。

確率変数の和の期待値の公式
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
独立な確率変数の和の分散の公式
V(X+Y)=V(X)+V(Y)

なお、複利で運用した場合には、和ではなく、独立な確率変数の積を使用することになるようですが、分散の公式は確認できていません。

独立な確率変数の積の期待値の公式
E(XY)=E(X)E(Y)
独立な確率変数の積の分散の公式
V(XY)=?

リターンとリスク (2009-12-11)

まず、運用収益率について、未来の確率分布はわかりませんし、平均や標準偏差が定義されないかもしれませんが、定義されると想定して、平均を平均リターン、標準偏差をリスクとしてみます。
ここで、同じ平均リターンであれば、リスクを低くしたいところですし、同じリスクであれば、平均リターンを高くしたいところですが、平均リターンが高くてリスクが低い運用は難しいようです。
なお、いわゆる「ハイ・リスク・ハイ・リターン」については、リスクが高い運用は平均リターンが高くなるということではなく、平均リターンが高い運用はリスクが高くなるということです。

平均リターンとリスク
高平均リターン
高難度
低難度
低平均リターン
低難度
低難度

低リスク
高リスク

また、複利リターンについて、「シーゲル博士の株式長期投資のすすめ」(著者:ジェレミー・シーゲル、訳者:笠原高治、1999年9月1日、初版第2刷)の25ページから引用します。

 複利リターンは算術リターンから年率リターンの分散σの半分を引いたもの。r≒r−1/2σ

 投資家は複利リターンを長期に達成できる。複利リターンは常に算術リターンより低い。

ここで、「算術リターン」を平均リターン、「年率リターンの分散σ」の正の平方根をリスクとすると、次のような関係になり、例えば、平均リターンを10%、リスクを20%として、複利リターンを近似すると、8%(=0.1−0.2/2)になります。

Credit

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